ವೃತ್ತಗಳು

ವೃತ್ತಗಳು

ಮಾದರಿ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು

ಉತ್ತರ:
ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ AB = AC ( ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು ಸಮ )
∠BOC = 𝟏𝟑𝟎°
∠BAC = ?
∠BOC +∠BAC =𝟏8𝟎°
( ಕೇಂದ್ರಕೋನ ಮತ್ತು ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತ 𝟏8𝟎° )
∴ ∠BAC = 𝟏8𝟎° - ∠BOC
∠BAC = 𝟏8𝟎° -𝟏3𝟎°
∴∠BAC =5𝟎°

ಉತ್ತರ:
: ∠ABO = 30° ದತ್ತ.
∆ AOB ಯಲ್ಲಿ,
∠AOB+∠OAB+∠ABO = 180°
( ∆ ದ ಮೂರು ಒಳಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತ 180° )
ಆದರೆ , ∠OAB = 90°
( ತ್ರಿಜ್ಯ ಮತ್ತು ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನ )
∠AOB = 180° - ( ∠OAB + ∠ABO )
∠AOB =∠AOB – (90° +30° )
∠AOB = 180° - 120°
∴ ∠AOB = 60°

ಉತ್ತರ:
ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ∆ OAP ಲಂಬಕೋನ ತ್ರಿಭುಜ.
OA = 6 cm,
OP = 10 cm
OP² = OA² + AP² ( ಪೈಥಾಗೊರಸ್ ಪ್ರಮೇಯ )
OP² - OA² = AP²
AP² = OP² - OA²
AP² = 10² - 6²
AP² = 100 - 36
AP² = 64
AP² = 8²
∴ AP = 8 cm

ಉತ್ತರ:
AB ಯು ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಎಳೆದ ಸ್ಪರ್ಶಕವಾಗಿದೆ.
OB ⊥ AB
OA = 5 cm ಮತ್ತು AB = 4 cm.
∆ ABO ನಲ್ಲಿ,
OA² = AB² + OB² ( ಪೈಥಾಗೊರಸ್ ಪ್ರಮೇಯ )
5² = 4² + OB²
25 = 15 + OB²
25 - 16 = OB²
∴ 9 = OB²
OB² = 9 = 3²
∴ OB = 3 cm
ವೃತ್ತದ ತ್ರಿಜ್ಯ = OB = 3 cm

ಉತ್ತರ:
OA = AB ( ದತ್ತ )
∠AOB = ∠ABO ( ಸಮಬಾಹುಗಳ ಅಭಿಮುಖ ಕೋನಗಳು ಸಮ. )
ಆದರೆ ∠OAB = 90° ( ತ್ರಿಜ್ಯ ಮತ್ತು ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನ )
∠AOB + ∠ABO = 180° - ∠AOB
∠AOB + ∠ABO = 180° - 90°
∠AOB + ∠ABO = 90°
∠AOB + ∠AOB = 90° ( ∠AOB + ∠ABO )
2 ∠AOB = 90°
∴ ∠AOB = 90°/2
∴ ∠AOB = 45°

ಉತ್ತರ: ∆ ABC ಯ ಸುತ್ತಳತೆ = AB + BC + CA
= AP + BP + BQ + CQ + CR + RA
ಆದರೆ, AP = AR
( ಬಾಹ್ಯ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಎಳೆದ BP = BQ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು ಸಮ.)
CQ = CR
∴ ∆ ABCಯ ಸುತ್ತಳತೆ = AP + BQ + BQ + CR + CR + AP
=2 AP+ 2 BQ +2 CR
∴ ∆ ABCಯ ಸುತ್ತಳತೆ = 2(AP + BQ + CR)

ಉತ್ತರ:
DR = DS
( ಬಾಹ್ಯಬಿಂದು D ಯಿಂದ ವೃತ್ತಕ್ಕೆಳೆದ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು )
AP = AS
( ಬಾಹ್ಯಬಿಂದು A ಯಿಂದ ವೃತ್ತಕ್ಕೆಳೆದ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು )
BP = BQ
( ಬಾಹ್ಯಬಿಂದು B ಯಿಂದ ವೃತ್ತಕ್ಕೆಳೆದ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು )
CR = CQ
( ಬಾಹ್ಯಬಿಂದು C ಯಿಂದ ವೃತ್ತಕ್ಕೆಳೆದ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು )
ಮೇಲಿನ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಕೂಡಿದಾಗ,
∴ DR + AP + BP + CR = DS + AS + BQ + CQ
∴ DR + CR + AP + BP = DS + AS + BQ + CQ
DC + AB = AD + BC

ಉತ್ತರ: ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ , OP = 3 cm
OQ = 5 cm
PQ = ?
OPQ ಒಂದು ಲಂಬಕೋನ ತ್ರಿಭುಜ.
PQ² = OQ² - OP² ( ಪೈಥಾಗೊರಸ್ ಪ್ರಮೇಯ )
PQ² = 5² - 3²
PQ² = 25 - 9
PQ² = 16
∴ PQ² = 4²
∴ PQ = 4 cm
ಆದರೆ AQ ಜ್ಯಾದ ಉದ್ದ = 2 PQ
= 2 × 4 cm
∴ ಜ್ಯಾದ ಉದ್ದ = 8 cm

ಉತ್ತರ: PQ = 7 cm ( ದತ್ತ )
PQ = PR = 7 cm
( ಬಾಹ್ಯ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಎಳೆದ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು ಸಮನಾಗಿರುತ್ತವೆ)
ಹಾಗೆಯೇ,
CX = CR ( ಬಾಹ್ಯ ಬಿಂದು C ನಿಂದ ವೃತ್ತಕ್ಕೆಳೆದ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು ) ------- (1)
BX = BQ ( ಬಾಹ್ಯ ಬಿಂದು D ನಿಂದ ವೃತ್ತಕ್ಕೆಳೆದ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು) ------ (2)
PQ + PR = 7 + 7 = 14 cm
( PC + PR ) + ( PB + BQ ) = 14 cm
PC + CX + PB + BX = 14 cm ( ಸಮೀಕರಣ (1) ಮತ್ತು (2) )
PC + PB + CX + BX + 14 cm
PC + PB + BC = 14 cm
∴ ∆ PBC ಯ ಸುತ್ತಳತೆ = 14 cm

ಉತ್ತರ : O ವೃತ್ತಕೇಂದ್ರ .
T ಬಾಹ್ಯಬಿಂದು .
TP = TQ ( ಬಾಹ್ಯ ಬಿಂದು T ನಿಂದ ವೃತ್ತಕ್ಕೆಳೆದ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು ಸಮ )
ಸಾಧನೀಯ: ∠PTQ = 2 ∠OPQ
∠PTQ = x ಆಗಿರಲಿ
TPQ ಒಂದು ಸಮದ್ವಿಬಾಹು ತ್ರಿಭುಜ ( TP = TQ )
∠TPQ = ∠TQP =

1 / 2

( 180° - x ) = 90° -

1 / 2

x
ಆದರೆ ∠OPT = 90°
( ತ್ರಿಜ್ಯ ಮತ್ತು ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನ )
∠OPQ = ∠OPT - ∠TPQ = 90° - ( 90° -

1 / 2

x ) = 90° + 90° -

1 / 2

x
∴ ∠OPQ =

1 / 2

x
∴ ∠OPQ =

1 / 2

∠PTQ ( ∠PTQ = x )
∴ 2∠OPQ = ∠PTQ
∴ ∠PTQ = 2∠OPQ