ಒಂದು ಅಂಕದ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು
ಉತ್ತರ: (B) 18
a3 = 5x3+3
a3 = 15+3
a3 = 18.
ಉತ್ತರ: (A) 18
a2 = 24-3x2
a2 = 24-6
a2 = 18.
ಉತ್ತರ: (C) 41
a=5 d = 9-5 = 4 n = 10
an = a+(n-1)d
a10 = 5+(10-1)4
a10 = 5+36
a10 = 41
ಉತ್ತರ: (C) 1
d = b-a or d = c-b
(b-a)/(c-b) = d/d
(b-a)/(c-b) = 1
ಎರಡು ಅಂಕದ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು
ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಣಿ: 2,7,12,...
a=2 d = 7-2 = 5 n=20
n ಪದಗಳ ಮೊತ್ತ = n/2[2a+(n-1)d]
=20/2[2x2+(20-1)5]
= 10[4+95]
= 990
ಈ ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಣಿಯ ಮೊದಲ 20 ಪದಗಳ ಮೊತ್ತ 990
ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಣಿ: 5,8,11,14...
a=5 d = 8-5 = 3 n=24
n ಪದಗಳ ಮೊತ್ತ = n/2[2a+(n-1)d]
24 ಪದಗಳ ಮೊತ್ತ = 24/2[2x5+(24-1)3]
= 12[10+69]
= 948
ಈ ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಣಿಯ ಮೊದಲ 24 ಪದಗಳ ಮೊತ್ತ 948
ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಣಿ: 3+7+11......
a=3 d = 7-3 = 4 n=10
n ಪದಗಳ ಮೊತ್ತ = n/2[2a+(n-1)d]
10 ಪದಗಳ ಮೊತ್ತ = 10/2[2x3+(10-1)4]
= 5[6+36]
= 210
ಈ ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಣಿಯ ಮೊದಲ 10 ಪದಗಳ ಮೊತ್ತ 210
ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಣಿ: 4+7+10+...
a=4 d = 7-4 = 3 n=20
n ಪದಗಳ ಮೊತ್ತ = n/2[2a+(n-1)d]
20 ಪದಗಳ ಮೊತ್ತ = 20/2[2x4+(20-1)3]
= 10[8+57]
= 650
ಈ ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಣಿಯ ಮೊದಲ 20 ಪದಗಳ ಮೊತ್ತ 650
ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಣಿ: 2+4+6+...
a=2 d = 4-2 = 2 an = 40
an = a+(n-1)d = 2+(n-1)2 = 40 n = 20
n ಪದಗಳ ಮೊತ್ತ = n/2[2a+(n-1)d]
20 ಪದಗಳ ಮೊತ್ತ = 20/2[2x2+(20-1)2]
= 10[4+38]
= 420
2 ರಿಂದ 40 ರವರೆಗಿನ ಎಲ್ಲಾ ಸಮ ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತ 420
a,A,b ಗಳು ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿವೆ.
d ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿರಲಿ.
A = a+d (1)
A = b-d (2)
ಈ ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಕೂಡಿಸಿದಾಗ,
2A = a+d+b-d = a+b
A = (a+b)/2
a=6 d=5
an = a+(n-1)d
a3 = 6+(3-1)5
a3 = 6+10
a3 = 16
ಶ್ರೇಢಿಯ 3ನೇ ಪದ 16
ಮೂರು/ನಾಲ್ಕು ಅಂಕದ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು
a4+a8 = 24
a6+a10 = 44
an = a+(n-1)d
a4+a8 = (a+3d)+(a+7d)
24 = 2a+10d
a+5d = 12 ------------- (1)
a6+a10 = (a+5d)+(a+9d)
44 = 2a+14d
a+7d = 22 ------------- (2)
ಸಮೀಕರಣ (1)ನ್ನು ಸಮೀಕರಣ (2) ರಿಂದ ಕಳೆದಾಗ,
2d = 10
d = 5
d ಬೆಲೆಯನ್ನು ಸಮೀಕರಣ (1) ರಲ್ಲಿ ಆದೇಶಿಸಿದಾಗ,
a+5x5 = 12
a = -13
ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯ ಮೊದಲ 3 ಪದಗಳು -13,-8,-3.
a7 = 4a2 a12= 3a4+2
a+6d = 4(a+d)
a+6d = 4a+4d
3a-2d = 0 ------- (1)
a+11d = 3(a+3d)+2
a+11d = 3a+9d+2
2a-2d+2 = 0 ------- (2)
ಸಮೀಕರಣ (1) ರಿಂದ ಸಮೀಕರಣ (2) ನ್ನು ಕಳೆದಾಗ,
a+2 = 0
a =-2
a ಬೆಲೆಯನ್ನು ಸಮೀಕರಣ (1) ರಲ್ಲಿ ಆದೇಶಿಸಿದಾಗ,
3(-2)-2d = 0
-2d = 6
d = -3
ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿ: -2,-5,-8...
ರೇಖಾಖಂಡದ 4 ಭಾಗಗಳು a-3d,a-d,a+d,a+3d ಆಗಿರಲಿ.
(a+d)+(a+3d) = 3[(a-3d)+(a-d)]
2a+4d = 6a-12d
4a-16d = 0
a-4d = 0 ------- (1)
a+3d = 14 ------- (2)
ಸಮೀಕರಣ (1)ನ್ನು ಸಮೀಕರಣ (2) ರಿಂದ ಕಳೆದಾಗ,
7d = 14
d = 2
d ಬೆಲೆಯನ್ನು ಸಮೀಕರಣ (1) ರಲ್ಲಿ ಆದೇಶಿಸಿದಾಗ,
a-4x2 = 0
a = 8
ರೇಖಾಖಂಡದ 4 ಭಾಗಗಳು: 2cm,6cm,10cm,14cm.
a3+ a5 = 30 a4+ a8 = 46
(a+2d)+(a+4d) = 30
2a+6d = 30
a+3d = 15 ------- (1)
(a+3d)+(a+7d) = 46
2a+10d = 46
a+5d = 23 ------- (2)
ಸಮೀಕರಣ (1)ನ್ನು ಸಮೀಕರಣ (2) ರಿಂದ ಕಳೆದಾಗ,
2d = 8
d = 4
d ಬೆಲೆಯನ್ನು ಸಮೀಕರಣ (1) ರಲ್ಲಿ ಆದೇಶಿಸಿದಾಗ,
a+3x4 = 15
a = 3
ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿ: 3,7,11...
a4 = 10 a11 = 3a4+1
a+3d = 10 ------- (1)
a11 = 3x10+1
a+10d = 31 ------- (2)
ಸಮೀಕರಣ (1)ನ್ನು ಸಮೀಕರಣ (2) ರಿಂದ ಕಳೆದಾಗ,
7d = 21
d = 3
d ಬೆಲೆಯನ್ನು ಸಮೀಕರಣ (1) ರಲ್ಲಿ ಆದೇಶಿಸಿದಾಗ,
a+3x3 = 10
a = 1
ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿ: 1,4,7...
Sn = n/2[2a+(n-1)d]
S20 = 20/2[2x1+(20-1)3]
S20 = 10[2+57]
S20 = 590
ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯ ಮೊದಲ 20 ಪದಗಳ ಮೊತ್ತ 590.
ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯ 3 ಪದಗಳು a-d,a,a+d ಆಗಿರಲಿ.
(a-d)+a+(a+d) = 24
3a = 24
a = 8
(a+d)2+a2+(a+d)2 = 224
a2+2ad+d2+a2+a2-2ad+d2 = 224
3a2+2d2 = 224
192+2d2 = 224
2d2 = 32
d = +4 or -4
ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯ 3 ಪದಗಳು: 4,8,12.
a1+a3+a5 = 39 a2+a4+a6 = 51
a+(a+2d)+(a+4d) = 39
3a+6d = 39
a+2d = 13 ------- (1)
(a+d)+(a+3d)+(a+5d) = 51
3a+9d = 51
a+3d = 17 ------- (2)
ಸಮೀಕರಣ (1)ನ್ನು ಸಮೀಕರಣ (2) ರಿಂದ ಕಳೆದಾಗ,
d = 4
d ಬೆಲೆಯನ್ನು ಸಮೀಕರಣ (1) ರಲ್ಲಿ ಆದೇಶಿಸಿದಾಗ,
a+2x4 = 13
a = 13-8
a = 5
ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿ: 5,9,13...
an = a+(n-1)d
a10 = 5+(10-1)4
a10 = 5+9x4
a10 = 41
ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯ 10ನೇ ಪದ 41
ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯ 3 ಪದಗಳು a-d,a,a+d ಆಗಿರಲಿ.
(a-d)+a+(a+d) = 18
3a = 18
a = 6
(a+d)2+a2+(a+d)2 = 140
a2+2ad+d2+a2+a2-2ad+d2 = 140
3a2+2d2 = 140
108+2d2 = 140
2d2 = 32
d = +4 or -4
ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯ 3 ಪದಗಳು: 2,6,10.
S10 = 210 S50-S35 = 2665
n = 50
Sn = n/2[2a+(n-1)d]
S10 = 10/2[2a+(10-1)d]
210 = 5(2a+9d)
2a+9d = 42 ------- (1)
S50-S35 = 50/2[2a+(50-1)d]-35/2[2a+(35-1)d]
2565 = 50a-1225d-35a-595d
15a+630d = 2565
a+42d = 171 ------- (2)
ಸಮೀಕರಣ (2)ನ್ನು 2 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ ಸಮೀಕರಣ (1) ನ್ನು ಕಳೆದಾಗ,
2(a+42d)-(2a+9d) = 171x2-42
75d = 300
d = 4
d ಬೆಲೆಯನ್ನು ಸಮೀಕರಣ (1) ರಲ್ಲಿ ಆದೇಶಿಸಿದಾಗ,
2a+9x4 = 42
2a = 6
a = 3
ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿ: 3,7,11...
ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯ 3 ಪದಗಳು a-d,a,a+d ಆಗಿರಲಿ.
(a-d)+a+(a+d) = 15
3a = 15
a = 5
(a+d)2+(a+d)2 = 58
a2+2ad+d2+a2-2ad+d2 = 58
2a2+2d2 = 58
50+2d2 = 58
2d2 = 8
d = +2 or -2
ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯ 3 ಪದಗಳು: 3,5,7.
4S5 = S10-S5 a = 2
5S5 = S10
Sn = n/2[2a+(n-1)d]
5x5/2[2x2+(5-1)d] = 10/2[2x2+(10-1)d]
25/2(4+4d) = 5(4+9d)
50d+50 = 45d+20
5d = -30
d = -6
an = a+(n-1)d
a20 = 2+(20-1)(-6)
a20 = 2-114
a20 = -112
ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯ 20ನೇ ಪದವು -112ಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯ 3 ಪದಗಳು a-d,a,a+d ಆಗಿರಲಿ.
(a-d)+a+(a+d) = 33
3a = 33
a = 11
(a-d)(a+d) = a+29
a2-d2 = a+29
121-d2 = 11+29
d2 = 121-40
d = +9 or -9
ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯ 3 ಪದಗಳು: 2,11,20.
Sn = 210 Sn-1 = 171 a = 3
an = Sn-Sn-1
an = 210-171
an = 39
Sn = n/2[a+l]
210 = n/2[3+39]
21n = 210
n = 10
an = a+(n-1)d
a10 = 3+(10-1)d
39 = 3+9d
9d = 36
d = 4
ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿ: 3,7,11,15...
S8 = 136 S15= 465
Sn = n/2[2a+(n-1)d]
S8 = 8/2[2a+(8-1)d]
136 = 4(2a+7d)
2a+7d = 34 ------- (1)
S15= 15/2[2a+(15-1)d]
465 = 15/2[2a+14d]
15(a+7d) = 465
a+7d = 31 ------- (2)
ಸಮೀಕರಣ (1) ರಿಂದ ಸಮೀಕರಣ (2) ನ್ನು ಕಳೆದಾಗ,
a = 3
a ಬೆಲೆಯನ್ನು ಸಮೀಕರಣ (2) ರಲ್ಲಿ ಆದೇಶಿಸಿದಾಗ,
3+7d = 31
d = 4
a = 3
Sn = n/2[2a+(n-1)d]
S25 = 25/2[2x3+(25-1)4]
S25 = 25/2[6+96]
S25 = 25x51
S25 = 1275
ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯ ಮೊದಲ 25 ಪದಗಳ ಮೊತ್ತ: 1275.
a5+ a9 = 40 a8+ a14 = 64
(a+4d)+(a+8d) = 40
2a+12d = 40
a+6d = 20 ------- (1)
(a+7d)+(a+13d) = 64
2a+20d = 64
a+10d = 32 ------- (2)
ಸಮೀಕರಣ (1)ನ್ನು ಸಮೀಕರಣ (2) ರಿಂದ ಕಳೆದಾಗ,
4d = 12
d = 3
d ಬೆಲೆಯನ್ನು ಸಮೀಕರಣ (1) ರಲ್ಲಿ ಆದೇಶಿಸಿದಾಗ,
a+6x3 = 20
a = 2
ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿ: 2+5+8...
Sn = n/2[2a+(n-1)d]
S20 = 20/2[2x2+(20-1)3]
S20 = 10(4+57)
S20 =610
ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯ ಮೊದಲ 20 ಪದಗಳ ಮೊತ್ತ 610.
ನಾಲ್ಕು ಕ್ರಮಾನುಗತ ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯ ಪದಗಳು a-3d,a-d,a+d,a+3d ಆಗಿರಲಿ.
(a-3d)+(a-d)+(a-d)+(a+3d) = 32
4a = 32
a = 8
(a-3d)+(a+3d)/(a-d)+(a-d) = 7/15
15(a2-9d2) = 7(a2-d2)
15a2-135d2 = 7a2-7d2
16d2 = a2
16d2 = 64
d = +2 or -2
ನಾಲ್ಕು ಕ್ರಮಾನುಗತ ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯ ಪದಗಳು 2,6,10,14.
