ಮಾದರಿ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಪ್ರಸ್ತಾವನೆ

ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಪ್ರಸ್ತಾವನೆ

ಮಾದರಿ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು

ಎರಡು ಅಂಕದ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು

ಉತ್ತರ:
sin²⁡ A + cos²⁡ A = 1
0 + cos² A = 1
cos² A = 1
cos A = √1
cos A = 1

ಉತ್ತರ:
sec θ =
1 / Cos θ

=
1 / 24⁄25

=
25 / 24

ಉತ್ತರ:
sec² 26° – tan² 26°
tan² A + 1 = sec² A
= tan² 26° + 1 – tan² 26°
= 1

ಉತ್ತರ:
tan 45° + cot 45° = 1 + 1
tan 45° + cot 45° = 2

ಉತ್ತರ:
sin A . cos A . tan A + cos A . sin A . cot A
= sin A . cos A .
sin ⁡A / cos ⁡A
+ cos A . sin A .
cos⁡ A / sin A

{ tan A =
sin ⁡A / cos ⁡A
, cot A =
cos⁡ A / sin A
}
= sin A . sin A + cos A . cos A     {sin² A + cos² A = 1}
= sin² A + cos² A
= 1

ಉತ್ತರ:
(1 + tan² 60°)² = (1 + (√3)²)²     {tan 60° = √3 }
= (1 + 3)²
= 4²
= 16

ಉತ್ತರ:
Sin θ =
3 / 5

Cosec θ =
5 / 3
    {cosec θ =
1 / Sin θ
}
3 cosec θ = 3 *
5 / 3

3 cosec θ = 5

ಉತ್ತರ:
2 tan² 45° + cos² 30° – sin² 60°
= 2(1)² + (√3⁄2)² - (√3⁄2)²
= 2 +
3 / 4
-
3 / 4

= 2

ಉತ್ತರ:
tan 48° * tan 23° * tan 42° * tan 67°
= tan 48° * cot (90°- 42°) * tan 67°* cot (90°- 23°)     { cot (90°- θ) = tanθ}
= tan 48° * cot 48° * tan 67° * cot 67°
= tan 48° *
1 / tan⁡ 48°
* tan 67° *
1 / tan⁡ 67°
= 1 * 1 {cot ⁡θ =
1 / tan⁡ θ
}
= 1

ಉತ್ತರ :
sin 30° = cos 60° =
1 / 2

tan 45° = 1
cosec 60° = sec 30° =
2 / √3


(sin 30 + tan⁡ 45 - cosec 60) / (sec⁡ 30 + cos⁡ 60 + cot⁡ 45)
=
1 / 2
+ 1 -
2 / √3
/
2 / √3
+
1 / 2
+ 1


=
3√3-2 / 4+3√3

ಉತ್ತರ :
1 - sin² A = cos² A
1 - tan² A = sec² A
(1 - sin² A)(1 - tan² A) = cos² A * sec² A
= cos² A *
1 / cos² A
   {sec² A =
1 / cos² A
}
= 1

ಉತ್ತರ :
Sin 30° =
1 / 2

cos 60° =
1 / 2

tan 45° = 1
Sin 30° x cos 60° – tan² 45° =
1 / 2
x
1 / 2
- 1²
1 / 4
- 1
=
-3 / 4

ಉತ್ತರ :
(1+sin ⁡θ) / (1-sin ⁡θ)
=
(1+sin⁡ θ) / (1-sin⁡ θ)
*
(1+sin ⁡θ) / (1+sin⁡θ)

=
(1+sin⁡ θ)² / (1-sin⁡² θ)

=
(1+2sin⁡ θ+sin²⁡ θ) / cos²⁡ θ)

=
1 / cos²⁡ θ
+
sin²⁡ θ / cos²⁡ θ
+
2sin⁡ θ / cos²⁡ θ

= sec²⁡ θ + tan²⁡ θ + 2 *
1 / cos⁡ θ
*
sin⁡ θ / cos⁡ θ)

= sec²⁡ θ + tan²⁡ θ + 2 * tan θ * sec θ
= (sec⁡ θ + tan ⁡θ)²

ಉತ್ತರ:
√3 tan θ = 1
tan⁡ θ =
1 / √3

tan⁡ θ = tan⁡ 30° θ = 30°
sin 3θ + cos 2θ = sin⁡ (3*30) + cos⁡ (2*30)
= sin⁡ 90° + cos 6⁡0°
= 1 +
1 / 2
   {sin⁡ 90° = 1, cos⁡6⁡0° =
1 / 2
}
= 3/2

ಉತ್ತರ:
(tan ⁡A * sin⁡ A ) + cos⁡ A =
sin⁡ A / cos⁡ A
* sin⁡ A + cos⁡ A
=
sin² A / cos⁡ A
+ cos ⁡A =
sin² A + cos²⁡ A / cos⁡ A

{sin² A + cos²⁡ A = 1}
=
1 / cos⁡ A

= sec⁡ A

ಉತ್ತರ:
∆ABC ಯಲ್ಲಿ ∠B = 90°
ಫೈಥಾಗೊರಸ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ,
AC² = AB² + BC²
4² = AB² + 3²
16 = AB² + 9
16 - 9 = AB²
7 = AB²
AB = √7
COS A =
AB / BC

COS A =
√3 / 4

ಉತ್ತರ:
∆ABC ಯಲ್ಲಿ ∠B = 90°
ಆದ್ದರಿಂದ ಪೈಥಾಗೊರಸ್ ಪ್ರಮೇಯ ಪ್ರಕಾರ,
AC² = AB² + BC²
169 = 25 + BC²
169 – 25 = BC²
144 = BC² , BC² = √144 , BC = 12
cos ⁡θ =
ಪಾರ್ಶ್ವ ಬಾಹು / ವಿಕರ್ಣ
=
BC / AC
=
12 / 13

tan ⁡θ =
ಅಬಿಮುಖ ಬಾಹು / ಪಾರ್ಶ್ವ ಬಾಹು
=
AB / BC
=
5 / 12

ಮೂರು ಅಂಕದ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು

ಉತ್ತರ:
(sin θ + cosse θ)² + (cos θ + sec θ)²
= sin² θ + 2 x sin θ x cosec θ + cosec² θ + cos² θ + 2 x cos θ x sec θ + sec² θ
= sin² θ + 2 x sinθ x
1 / sin θ
+ cosec² θ + cos² θ + 2 x cosθ x
1 / cos θ
+ sec² θ
{ cosec θ =
1 / sin θ
sec θ =
1 / cos θ
}
= sin² θ + 2 + cosec² θ + cos² θ + 2 + sec² θ
= sin² θ + cos² θ + 2 + 2 + cosec² θ + sec² θ
{ (1+tan²θ) = sec²θ, (1+cot²θ) = cosec²θ, sin² θ + cos² θ = 1 }
= 1 + 2 + 2 + 1 + cot² θ + 1 + tan² θ
= 1 + 2 + 2 + 1 + 1 + cot² θ + tan² θ
= 7 + cot² θ + tan² θ

ಉತ್ತರ:
cos (A+B) = cos (60°+30°)
= cos 90°
= 0

cos A . cos B - sin A . sin B
= cos 60° . cos 30° - sin 60° . sin 30°
=
1 / 2
*
√3 / 2
-
√3 / 2
*
1 / 2

√3 / 4
-
√3 / 4

= 0

cos (A+B) = cos A . cos B - sin A . sin B

ಉತ್ತರ:
sin⁡ θ / 1+cos⁡ θ
+
1+cos⁡θ / sin⁡ θ

=
sin ⁡θ x sin⁡ θ + (1 + cos⁡ θ)(1 + cos⁡ θ) / sin⁡ θ (1 + cos⁡ θ)

=
sin² ⁡θ + (1 + cos⁡ θ)² / sin⁡ θ (1 + cos⁡ θ)

=
sin² ⁡θ + 1 + cos⁡² θ + 2 x 1 x cos θ) / sin⁡ θ (1 + cos⁡ θ)

=
sin² ⁡θ + cos⁡² θ + 1 + 2 cos θ) / sin⁡ θ (1 + cos⁡ θ)

=
1 + 1 + 2 cos θ) / sin⁡ θ (1 + cos⁡ θ)

=
2(1 + cos θ) / sin⁡ θ (1 + cos⁡ θ)

=
2 / sin⁡ θ

= 2 cosec θ

ಉತ್ತರ:
(1-tan² ⁡θ) / (cot² ⁡θ - 1)


=
1 -
sin² θ / cos² ⁡θ
/
cos² ⁡θ / sin² θ
- 1


=
cos² ⁡θ - sin² θ / cos² ⁡θ
/
cos² ⁡θ - sin² θ / sin² θ


=
sin² θ / cos² ⁡θ

= tan² ⁡θ

ಉತ್ತರ:
tan² ⁡θ - sin² ⁡θ
=
sin² θ / cos² ⁡θ
- sin² ⁡θ
=
(sin² ⁡θ - sin² ⁡θ cos² ⁡θ) / cos² ⁡θ

=
(sin² θ x (1-cos² ⁡θ)) / cos² ⁡θ

=
sin² / cos² ⁡θ
x sin² ⁡θ
= tan² ⁡θ x sin² ⁡θ

ಉತ್ತರ:
sin⁡ (90-θ) = cos⁡ θ
cosec⁡ (90-θ) = sec θ
cot (90-θ) = tan ⁡θ

sin⁡ (90-θ) / (cosec ⁡(90-θ) - cot⁡ (90-θ) )

=
cos⁡ θ / sec ⁡θ - tan⁡ θ


=
cos⁡ θ /
1 / cos⁡ θ
-
sin θ / cos⁡ θ


=
cos⁡ θ /
1 - sin θ / cos⁡ θ


=
cos⁡² θ / 1 - sin⁡ θ


=
1 - sin⁡² θ / 1 - sin⁡ θ


=
(1 - sin θ)(1 + sin θ) / 1 - sin⁡ θ


= 1 + sin θ